PENGEMBANGANPERMAINAN MONOMATH PADA MATERI PERSAMAAN GARIS LURUS BAGI SISWA KELAS VIII SMP NEGERI 10 SALATIGA 1)Muhammad Fajar Prasetyo Erlina Prihatnani2) 1)Universitas Kristen Satya Wacana Salatiga Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga - Indonesia 50711 Telp 0298-321212 ; E-mail : 202014056@student.uksw.edu Bab Ba 6 Sum b er w fcom Pola Bilangan, Barisan, dan Deret Pola bilangan, barisan, dan deret merupakan materi baru yang akan kamu pelajari pada bab ini. Terdapat beberapa masalah yang penyelesaiannya memerlukan materi ini, contohnya sebagai berikut. Jumlah bakteri dalam suatu kondisi tertentu bertambah dari menjadi dalam 4 hari. Jika jumlah bakteri tersebut terus bertambah menurut deret geometri, berapa banyak pertumbuhan bakteri tersebut per hari? Untuk menjawabnya, pelajari bab ini dengan baik. A. B. C. Pola Bilangan Barisan Bilangan Deret Bilangan 99 Uji Kompetensi Awal Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut. 1. 2. 3. Tuliskan himpunan bilangan ganjil antara 1 dan 10. Tuliskan himpunan genap antara 10 dan 20. Tuliskan bilangan kelipatan tiga antara 50 dan 70. 4. 5. Tuliskan bilangan kelipatan 5 antara 80 dan 95. Hitunglah c. 101,53 a. 54 7 15 + 25 b. 1,53 d. 2 A. Pola Bilangan Sumber Dokumentasi Penulis Gambar Dadu Pernahkah kamu memperhatikan dadu? Pada umumnya, dadu memiliki bilangan-bilangan yang digambarkan dalam bentuk bulatan. Coba kamu perhatikan Gambar . Gambar tersebut menunjukkan bahwa dadu memiliki bulatan-bulatan kecil disebut noktah atau titik di setiap sisinya. Noktahnoktah tersebut mewakili bilangan-bilangan yang ditentukan. Satu noktah mewakili bilangan 1, dua noktah mewakili bilangan 2, dan begitu seterusnya hingga enam noktah yang mewakili bilangan 6. Penggunaan noktah untuk mewakili suatu bilangan tertentu sebenarnya telah digunakan manusia pada zaman dahulu. Uniknya, penulisan noktah-noktah tersebut ternyata mengikuti pola yang didasarkan pada bentuk bangun datar atau bangun ruang. 1. Pola Garis Lurus Penulisan bilangan yang mengikuti pola garis lurus merupakan pola bilangan yang paling sederhana. Suatu bilangan hanya digambarkan dengan noktah yang mengikuti pola garis lurus. Misalnya, a. mewakili bilangan 2. b. mewakili bilangan 3. c. mewakili bilangan 4. d. mewakili bilangan 5. Plus+ Semua bilangan b asli dapat digambarkan dengan noktah-noktah yang mengikuti pola garis lurus. Contoh Soal Gambarkan rkan bilan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk noktah yang berpola garis lurus. a. 8 b. 11 c. 15 Jawab a. b. c. 100 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX 2. Pola Persegipanjang Pada umumnya, penulisan bilangan yang didasarkan pada pola persegipanjang hanya digunakan oleh bilangan bukan prima. Pada pola ini, noktah-noktah disusun menyerupai bentuk persegipanjang. Misalnya, a. mewakili bilangan 6, yaitu 2 x 3 = 6. b. mewakili bilangan 8, yaitu 2 x 4 = 8. c. mewakili bilangan 6, yaitu 3 x 2 = 6. Untuk lebih jelasnya, coba perhatikan contoh soal berikut. Contoh Soal Dari bilangan-bilangan angan bi angan-bil berikut, manakah yang dapat mengikuti pola persegipanjang? Jelaskan dengan gambar. a. 15 b. 16 c. 17 Jawab a. Bilangan 15 merupakan hasil perkalian 3 dan 5. Jadi, mengikuti pola persegipanjang. b. Bilangan 16 merupakan hasil perkalian 2 dan 8. Jadi, mengikuti pola persegipanjang. c. Bilangan 17 merupakan hasil perkalian dari 1 dan 17. Jadi, mengikuti pola garis lurus. 3. Pola Persegi Persegi merupakan bangun datar yang semua sisinya memiliki ukuran yang sama panjang. Begitu pula dengan penulisan pola bilangan yang mengikuti pola persegi. Semua noktah digambarkan dengan jumlah yang sama. Perhatikan uraian berikut. a. mewakili bilangan 1, yaitu 1 x 1 = 1. b. mewakili bilangan 4, yaitu 2 × 2 = 4. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret 101 c. mewakili bilangan 9, yaitu 3 x 3 = 9. d. mewakili bilangan 16, yaitu 4 x 4 = 16. Jika dilanjutkan, bilangan-bilangan yang digambarkan mengikuti pola persegi adalah 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ... Bilangan-bilangan tersebut merupakan bilangan kuadrat pangkat dua. Jika kamu perhatikan, bilangan kuadrat memiliki pola sebagai berikut. +2 Contoh Soal 1. 2. +2 +2 +2 +2 +2 +2 100 +19 +17 +15 +13 +11 +9 +7 +5 +3 81 64 49 36 25 16 9 4 1 +2 Dengan menggunakan ciri-ciri penulisan bilangan yang memiliki pola persegi, tentukan bilangan manakah yang mengikuti pola persegi? a. 60 b. 196 c. 225 Seorang anak menyusun persegi dari batang lidi yang mengikuti pola sebagai berikut. Pola 1 Pola 2 Pola 3 Berapa banyak lidi yang dibutuhkan untuk membuat persegi pada pola ke-5? Jawab 1. a. Bilangan 60 bukan merupakan bilangan kuadrat. Jadi, bilangan 60 tidak dapat digambarkan mengikuti pola persegi. b. Bilangan 196 merupakan bilangan kuadrat dari 14. Jadi, bilangan 196 dapat digambarkan mengikuti pola persegi. c. Bilangan 225 merupakan bilangan kuadrat dari 15. Jadi, bilangan 225 dapat digambarkan mengikuti pola persegi. 102 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX 2. Persegi yang dibentuk pada pola ke-5 dapat digambarkan sebagai berikut. Dari gambar di samping, banyak lidi yang dibutuhkan untuk membuat persegi pada pola ke-5 adalah 60 lidi. Situs Matematika 4. Pola Segitiga Selain mengikuti pola persegipanjang dan persegi, bilangan pun dapat digambarkan melalui noktah yang mengikuti pola segitiga. Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan lima bilangan yang mengikuti pola segitiga berikut ini. a. mewakili bilangan 1. b. mewakili bilangan 3. c. mewakili bilangan 6. d. mewakili bilangan 10. Jadi, bilangan yang mengikuti pola segitiga dapat dituliskan sebagai berikut. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ... Coba kamu perhatikan bilangan yang memiliki pola segitiga. Ternyata, bilangan-bilangan tersebut dibentuk mengikuti pola sebagai berikut. +1 +1 +1 +1 +1 36 +8 +7 +6 +5 +4 +3 +2 28 21 15 10 6 3 1 +1 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret 103 atau 1 = 1 3 = 1+2 6 = 1+2+3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 dan seterusnya. Apa yang dapat kamu simpulkan dari uraian tersebut? Contoh Soal 1. Tentukan t k lima li bilangan segitiga setelah bilangan 36. 2. Seorang anak membuat kerangka segitiga dari batang lidi dengan mengikuti pola sebagai berikut. pola 1 pola 2 Berapa banyak lidi yang diperlukan untuk membuat pola ke-4? Jawab 1. Lima bilangan segitiga setelah bilangan 36 dapat ditentukan dengan pola 36 + 9 = 45 + 10 = 55 + 11 = 66 + 12 = 78 + 13 = 91 Jadi, bilangan segitiga tersebut adalah 45, 55, 66, 78 dan 91 2. Segitiga yang dibentuk pada pola keempat dapat digambarkan sebagai berikut. Dari gambar di samping, banyaknya batang lidi yang dibutuhkan untuk membuat kerangka segitiga yang sesuai dengan pola ke-4 adalah 30 batang lidi 5. Pola Bilangan Ganjil dan Genap Bilangan yang memiliki pola bilangan ganjil atau genap biasanya memiliki selisih dua angka antara bilangan yang satu dengan bilangan sebelumnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut. a. Pola Bilangan Ganjil Pola bilangan ganjil memiliki aturan sebagai berikut. 1 Bilangan 1 sebagai bilangan awal. 2 Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya. Perhatikan pola bilangan ganjil berikut ini. 1 3 +2 104 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX 5 +2 7 +2 9 +2 11 +2 13 +2 15 +2 b. Pola Bilangan Genap Tugas Pola bilangan genap memiliki aturan sebagai berikut. 1 Bilangan 2 sebagai bilangan awal. 2 Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya. Perhatikan pola bilangan genap berikut ini. 2 4 6 8 10 12 14 Carilah contoh lain pola bilangan ganjil dan genap selain contoh yang sudah ada. Bandingkan hasilnya dengan teman sebangkumu 16 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 Agar kamu lebih memahami pola bilangan ganjil dan genap, coba kamu perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh Soal 1. Isilah ahh titik-titik titik ti tit berikut sehingga membentuk pola bilangan genap. ... ... ... ... 28 ... ... ... ... 38 ... 2. Isilah titik-titik berikut sehingga membentuk pola bilangan ganjil. ... 51 ... ... ... ... ... ... ... ... ... 69 Jawab 1. Pola bilangan genap yang dimaksud adalah 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 2. Pola bilangan ganjil yang dimaksud adalah 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 6. Pola Segitiga Pascal Bilangan-bilangan yang disusun menggunakan pola segitiga Pascal memiliki pola yang unik. Hal ini disebabkan karena bilangan yang berpola segitiga Pascal selalu diawali dan diakhiri oleh angka 1. Selain itu, di dalam susunannya selalu ada angka yang diulang. Adapun aturan-aturan untuk membuat pola segitiga Pascal adalah sebagai berikut. a. Angka 1 merupakan angka awal yang terdapat di puncak. b. Simpan dua bilangan di bawahnya. Oleh karena angka awal dan akhir selalu angka 1, kedua bilangan tersebut adalah 1. c. Selanjutnya, jumlahkan bilangan yang berdampingan. Kemudian, simpan hasilnya di bagian tengah bawah kedua bilangan tersebut. d. Proses ini dilakukan terus sampai batas susunan bilangan yang diminta. Untuk lebih jelasnya, perhatikan pola segitiga Pascal berikut. 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 6 Pola bilangan bila bil segitiga Pascal ini dapat digunakan dalam perhitungan matematika lainnya. Salah satunya adalah 1 3 1 4 10 10 dan seterusnya. Plus+ variabel bilangan berpangkat 1 5 1 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret 105 Uji Kompetensi Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Perhatikan pola noktah berikut. 2. a. Salinlah kembali pola noktah tersebut dan lanjutnya tiga pola noktah berikutnya. b. Tulislah pola noktah tersebut dalam bentuk angka. c. Jelaskan pola bilangan tersebut. Isilah tabel berikut. Pola Bilangan Bilangan Pada Dadu Bilangan Pada Kartu Domino Garis lurus ... ... ... ... ... ... Persegi Persegi panjang 3. 4. 5. 6. 7. Berikut ini adalah pola yang dibuat dari batang lidi. Buatlah pola noktah dari bilangan-bilangan berikut. Kemudian, tentukan jenis pola yang digunakan. a. 9 d. 12 b. 10 e. 13 c. 11 Istilah titik-titik berikut dengan memperhatikan pola yang digunakan. a. 1, 2, 4, 8, 32, 256, ... b. 1, 5, 9, ..., 17, 21, 25 c. 5, 10, 15, 20, 25, ... , 35 d. 1, 4, 10, 19, 31, ... , ... e. 1, 4, 9, 16, ... , ..., 49 Berikut ini adalah pola yang dibuat dari batang lidi. a. Salinlah pola tersebut dan lanjutkan tiga pola berikutnya. b. Berapa banyak batang lidi yang diperlukan untuk membuat pola kesepuluh? Tentukan pola bilangan berikut dan isilah titik-titik yang telah disediakan. a. 1, 8, 27, 64, ..., ..., ... b. 13, 23, ..., ..., ..., 63, 73 c. 1 + 2, 2 + 3, 3 + 4, ..., ..., 6 + 7 d. ..., ..., 75, 100, 125, ..., 175 e. 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, ..., ..., ..., ..., 106 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX a b c d a. Salinlah pola tersebut dan tentukan tiga pola berikutnya. b. Berapa banyak batang lidi yang diperlukan untuk membuat pola 1, 2, 3, dan 4? 8. Berdasarkan pola yang telah dibuat pada soal nomor 7, isilah titik-titik pada tabel berikut. 9. Tentukan nilai m dan n sehingga pola bilangan berikut mempunyai pola tertentu. Banyaknya Persegi Banyaknya Batang Lidi yang Digunakan Banyaknya Batang Lidi pada Kelilingnya 1 2 3 ... ... ... ... 4 7 ... ... ... ... ... 4 6 ... ... ... ... ... a. 7, 10, m, 16, 19, 22, n, ... b. 1, 2, 5, 6, 9, 10, m, n, c. 1, 6, 16, m, 51, n, ... d. 1, 6, m, 7, 3, n, 4 e. m, 12, 19, 26, n, 40, ... 10. Di sebuah bioskop, susunan tempat duduknya digambarkan sebagai berikut. baris 1 baris 2 baris 3 a. Berdasarkanpolatersebut,berapakahbanyaknya kursi pada baris ke-6? b. Jika di bioskop tersebut hanya terdapat enam baris kursi, berapa jumlah kursi di bioskop tersebut? B. Barisan Bilangan Perhatikan pola bilangan-bilangan berikut. a. 2, 4, 6, 8 b. 1, 3, 5, 7, ... c. 3, 6, 9, 12, 15, ... Jika kamu perhatikan, bilangan-bilangan pada a, b, dan c disusun mengikuti pola tertentu. Bilangan-bilangan tersebut disebut barisan bilangan . Adapun setiap bilangan dalam barisan bilangan disebut suku barisan . Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un. Pada barisan bilangan 2, 4, 6, 8, diperoleh U1 = suku ke-1 = 2 U2 = suku ke-2 = 4 U3 = suku ke-3 = 6 U4 = suku ke-4 = 8 Jadi, barisan bilangan 2, 4, 6, 8 memiliki 4 buah suku. Contoh Soal Plus+ TTanda “ ... “ pada akhir barisan bilangan menunjukkan bahwa barisan tersebut memiliki banyak sekali suku 1. Diketahui ketahui ba barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. a. Tentukan banyaknya suku barisan dalam barisan bilangan tersebut. b. Sebutkan satu per satu suku yang dimaksud. 2. Diketahui barisan bilangan 5, 10, 20, 40, 80. Tentukan U2, U4, dan U5. Jawab 1. a. Terdapat 8 suku barisan dalam barisan bilangan tersebut. U5 = 9 b. U1 = 1 U2 = 3 U6 = 11 U3 = 5 U7 = 13 U4 = 7 U8 = 15 2. U2 = suku kedua = 10 U4 = suku keempat = 40 U5 = suku kelima = 80 Berdasarkan polanya, barisan bilangan dibagi menjadi dua bagian, yaitu barisan arimetika barisan hitung dan barisan geometri barisan ukur. Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan uraian berikut ini. 1. Barisan Aritmetika Barisan Hitung Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Perhatikan uraian berikut. • Diketahui barisan bilangan 1 4 7 10 13 16 19 22 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih 3 antara dua suku barisan yang berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret 107 Sekilas Matematika Fibonacci 1180 –1250 Sumber Fibonacci, yang nama lengkapnya adalah Leonardo of Pisa, adalah putra seorang saudagar Italia. Dalam perjalanannya ke Eropa dan Afrika Utara, ia mengembangkan kegemarannya akan bilangan. Dalam karya terbesarnya, Liber Abaci, ia menjelaskan sebuah teka-teki yang sekarang kita kenal dengan barisan Fibonacci. Barisan tersebut adalah 1, 1, 2, 3, 5, 8, .... Setiap bilangan atau angka dalam barisan ini merupakan jumlah dari dua bilangan sebelumnya. 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, .... • Diketahui barisan bilangan 8 4 0 −4 −8 −12 −16 −20 –4 –4 –4 –4 –4 –4 –4 Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan, yaitu –4. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika. Dari kedua uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa barisan aritmetika memiliki beda sering dilambangkan dengan b yang tetap. Jika b bernilai positif maka barisan aritmetika itu dikatakan barisan aritmetika naik. Sebaliknya, Jika b bernilai negatif maka barisan aritmetika itu disebut barisan arimetika turun. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut. Contoh Soal Tentukan an jenis bba barisan aritmetika berikut berdasarkan nilai bedanya. a. 30, 32, 34, 36, 38, ... b. 18, 15, 12, 9, 6, 3, ... c. −10, −14, –18, −22, −26, ... Jawab a. 30 32 34 36 38 +2 +2 +2 +2 merupakan barisan aritmetika naik karena bedanya 2. b. 18 Sumber Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 2002 15 12 9 6 3 −3 −3 −3 −3 −3 merupakan barisan aritmetika turun karena bedanya −3. c. −10 −14 −4 −18 −4 −22 −4 −26 −4 merupakan barisan aritmetika turun karena bedanya −4. Kamu telah memahami barisan aritmetika naik dan turun. Sekarang, bagaimana mencari salah satu suku barisan jika yang diketahui hanya suku pertama dan bedanya saja? Bagaimana mencari beda jika yang diketahui hanya suku pertama dan satu suku barisan yang lain? Untuk menjawabnya, pelajarilah uraian berikut. Diketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut. U1, U2, U3, U4, U5, U6, ..., Un – 1 , Un Dari barisan tersebut diperoleh U1 = a suku pertama dilambangkan dengan a U2 = U1 + b = a + b U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b 108 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX U5 = U4 + b = a + 3b + b = a + 4b U6 = U5 + b = a + 4b + b = a + 5b . . . Un = Un − 1 + b = a + n − 2 b + b = a + n − 1 b Jadi, rumus ke-n barisan aritmetika dapat ditulis sebagai berikut. Problematika Un = a + n − 1 b Untuk mencari beda dalam suatu barisan aritmetika, coba kamu perhatikan uraian berikut. U2 = U1 + b maka b = U2 − U1 U3 = U2 + b maka b = U3 − U2 U4 = U3 + b maka b = U4 − U3 U5 = U4 + b maka b = U5 − U4 . . . Un = Un − 1 + b maka b = Un − Un − 1 Jadi, beda suatu barisan aritmetika dinyatakan sebagai berikut. Isilah dengan barisan bilangan yang tepat. 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 3 1 2 2 1 1 1 3 1 1 2 2 2 1 b = Un − U n − 1 Agar kamu lebih memahami materi ini, perhatikan contoh-contoh soal berikut. Contoh Soal Diketahui ui barisa barisan aritmetika sebagai berikut. 10, 13, 16, 19, 22, 25, .... Tentukan a. jenis barisan aritmetikanya, b. suku kedua belas barisan tersebut. Jawab a. Untuk menentukan jenis barisan aritmetika, tentukan nilai beda pada barisan tersebut. b = U2 − U1 = 13 − 10 = 3 Oleh karena b > 0, barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik. b. Untuk mencari suku kedua belas U12, dilakukan cara sebagai berikut. Un = a + n − 1b maka U12 = 10 + 12 − 1 3 = 10 + 11 · 3 = 10 + 33 = 43 Jadi, suku kedua belas barisan tersebut adalah 43. Contoh Soal Sebuah barisan aritmetika a memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24. a. Tentukan beda pada barisan tersebut. b. Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut. Solusi Matematika 127, 119, 111, 103, 95, ... Rumus suku ke-n dari barisan bilangan di atas adalah .... a. 8n + 119 c. 135 – 8n b. 119 – 8n d. 8n + 135 Jawab Diketahui U1 = a = 127 U2 = 119 b = –8 Rumus umum suku ke-n adalah Un = a + n – 1 b = 127 + n – 1 –8 = 127 – 8n + 8 = 135 – 8n Jawaban c Soal UAN, 2002 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret 109 Solusi Matematika Di dalam suatu gedung pertunjukan, disusun kursi dengan baris paling depan terdiri atas 12 kursi, baris kedua 14 kursi, baris ketiga 16 kursi, dan seterusnya selalu bertambah dua. Banyak kursi pada baris ke20 adalah .... a. 28 buah b. 50 buah c. 58 buah d. 60 buah Jawab Misalkan, Un = banyak kursi pada baris ke-n Diketahui U1 = 12, U2 = 14, dan U3 = 16 Ditanyakan U20 Penyelesaian Banyak kursi pada setiap baris membentuk barisan aritmetika dengan a = 12 dan b = 2. Jadi, Un = a + n –1b U20 = 12 + 20 – 12 = 12 + 192 = 12 + 38 = 50 Jawaban b Soal UN, 2006 Cerdas Berpikir Buatlah tiga rumus suku ke-n barisan aritmetika selain contoh yang sudah ada 110 Jawab Diketahui suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36 a. Untuk menentukan beda Un = a + n − 1 b maka U7 = 6 + 7 − 1 b 36 = 6 + 6 b 36 − 6 = 6 b 30 = 6 b b =5 Jadi, beda pada barisan itu adalah 5. b. Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai berikut. 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51 Contoh Soal Diketahuii suatu t bbarisan aritmetika −8, −3, 2, 7, 12, 17, ... Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut. Jawab Diketahui a = U1 = −8 b = U2 − U1 = −3 − −8 = −3 + 8 =5 Jadi, rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah Un = a + n − 1 b = −8 + n − 1 5 = −8 + 5n − 5 = 5n − 13 Contoh Soal Setiap bulan, l Ucok U selalu menabung di bank. Pada bulan pertama, ia menabung sebesar bulan kedua ia menabung sebesar bulan ketiga ia menabung sebesar 00. Demikian seterusnya, ia selalu menabung lebih setiap bulannya. a. Nyatakanlah uang yang ditabung Ucok dalam ribuan rupiah untuk 8 bulan pertama. b. Tentukan jumlah uang yang ditabung Ucok pada bulan ke-12. Jawab a. Dalam ribuan rupiah, uang yang ditabung Ucok untuk 8 bulan pertama adalah sebagai berikut. 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 b. Diketahui U1 = 10 b=1 U12 = a + n – 1 b = 10 + 12 – 1 1 = 10 + 11 = 21 Jadi, uang yang ditabung Ucok pada bulan ke-12 adalah Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX 2. Barisan Geometri Barisan Ukur Barisan geometriadalah barisan bilangan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Berbeda dengan barisan aritmetika, selisih antarsuku barisan disebut rasio dilambangkan dengan r. Artinya, suku barisan ditentukan oleh perkalian atau pembagian oleh suatu bilangan tetap dari suku barisan sebelumnya. Pelajari uraian berikut. • Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 3 6 12 24 48 96 192 • ×2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2 Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 2 atau r = 2. Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri. Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 1 1 81 27 9 3 1 3 9 × 1 3 × 1 3 × 1 3 × 1 3 × 1 3 × 1 3 1 Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu . Berarti, 3 bilangan tersebut merupakan barisan geometri. Uraian tersebut memperjelas bahwa barisan geometri memiliki rasio tetap. Jika r bernilai lebih besar dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan geometri naik. Adapun jika r lebih kecil dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan geometri turun. Contoh Soal Tentukan apakah barisan bilangan geometri berikut merupakan barisan geometri naik atau turun. 5 5 5 , , , ... a. 100, 20, 5, 4 16 64 b. 1, 5, 25, 125, 625, ... c. 2, 4, 8, 16, 32, ... Jawab a. 100 20 × 1 4 b. 1 c. 1 4 × 5 ×5 2 1 4 × 25 ×5 4 ×2 5 4 5 1 4 × 125 ×5 8 ×2 5 16 625 1 4 merupakan barisan geometri 1 turun karena rasionya . 4 merupakan barisan geometri naik karena rasionya 5. ×5 16 ×2 × 5 64 32 ×2 merupakan barisan geometri naik karena rasionya 2. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret 111 Sekarang, coba kamu perhatikan barisan bilangan geometri berikut. U1, U2, U3, U5, U6, ..., Un – 1, Un Dari barisan tersebut diperoleh U1 = a U2 = U1 × = a × r = ar U3 = U2 × r = a × r × r = ar2 U4 = U3 × r = a × r2 × r = ar3 U5 = U4 × r = a × r3 × r = ar4 U6 = U5 × r = a × r4 × r = ar5 . . . Un = Un–1 × r = a × rn – 2 × r = arn – 1 Jadi, untuk mencari suku ke-n barisan geometri digunakan rumus sebagai berikut. Un = arn – 1 Untuk mencari rasio dalam suatu barisan geometri, perhatikan uraian berikut. U U2 = U1 × r maka r = 2 U1 U U3 = U2 × r maka r = 3 U2 U U4 = U3 × r maka r = 4 U3 . . . Un Un = Un – 1 × r maka r = U n− 1 Jadi, rasio pada barisan geometri dapat dinyatakan sebagai berikut. r= Contoh Soal Cerdas Berpikir Buatlah tiga rumus suku ke-n barisan geometri selain contoh yang sudah ada Un U n−1 Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 2 18, 6, 2, , 2 , 2 , ... 3 9 27 Tentukan suku kesepuluh dari barisan tersebut. Jawab U U 6 1 r = n maka r = 2 = = U n− 1 U1 8 3 1 , suku kesepuluh barisan tersebut adalah 3 10 − 1 9 1 1 1 18 2 Un = arn–1 maka U10 = 18× = 18 × = 18 × = = 3 3 19 683 19 683 2 Jadi, suku kesepuluh barisan tersebut adalah Dengan rasio Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX 112 Contoh Soal Diketahui ui suatu barisan bba geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32. Tentukan a. suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut, b. suku kesembilan barisan geometri tersebut. Jawab a. Diketahui U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn – 1 maka U4 = ar3 = 4 .... 1 .... 2 U7 = ar6 = 32 Dari persamaan 1 diperoleh 4 ar3 = 4 maka a = 3 .... 3 r Subtitusikan persamaan 3 ke persamaan 2. 4 ar6 = 32 maka 3 r 6 = 32 r 4r3 = 32 r3 = 8 r=2 Subtitusikan r = 2 ke persamaan 1, diperoleh ar3 = 4 maka a · 23 = 4 a·8 =4 1 a= 2 1 Jadi, suku pertamanya adalah dan rasionya adalah 2. 2 1 · 29 – 1 2 1 = · 28 2 1 = · 256 = 128 2 b. Un = arn – 1 maka U9 = Jadi, suku kesembilan dari barisan geometri tersebut adalah 128 Uji Kompetensi Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. –8, –3, 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37 a. Tentukanlah banyaknya suku barisan dalam barisan bilangan tersebut. b. Tentkan nilai U3, U5, U6, U8, dan U10. 2. Tentukanlah apakah barisan aritmetika berikut ini merupakan barisan aritmetika naik atau turun. a. 12, 36, 108, 324, ... b. –40, –28, –16, –4, ... c. 7, 4, 1, –2, –5, –8, ... d. 10, 8, 6, 4, 2, ... e. 1, –5, –11, –17, –23, ... 3. 4. Tentukan beda untuk setiap barisan aritmetika berikut ini. a. 17, 27, 37, 47, 57, ... b. –6, –1, 4, 9, 14, 19, ... c. 48, 32, 16, 0, –16, ... d. 3, –1, –5, –9, –13, ... e. 0, –2, –4, –6, –8, ... Tulislah lima suku pertama dari barisan aritmetika yang mempunyai rumus umum sebagai berikut. 1 a. Un = 2n + 1 d. Un = n + 2 2 e. Un = 3n + 7 b. Un = n + 5 c. Un = 4n + 3 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret 113 5. 6. 7. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku ke-5 adalah 14 dan suku ke-8 adalah 29. a. Tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut. b. Tentukan suku ke-12 dari barisan tersebut. c. Tuliskan sepuluh suku pertama barisan tersebut. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku pertamanya –15 dan suku kelimanya 1. a. Tentukan beda barisan aritmetika tersebut. b. Tentukan suku kesepuluh barisan aritmetika tersebut. c. Tuliskan 10 suku pertama barisan aritmetika tersebut. Tentukan rasio setiap barisan geometri berikut ini. a. 5, 15, 45, 135, ... 1 1 9 , , , , ... b. 12 4 4 c. 20, 10, 5, ... 7 7 7 d. 7, , , 2 4 8 e. 1, 2, 4, 8, ... 8. Tentukan suku yang diminta dari barisan geometri berikut ini. a. 2, 10, 50, 250, ..., U7 b. 16, 8, 4, 2, ..., U8 4 c. 100, 20, 4, , ..., U6 5 d. 1, 5, 25, 125, ..., U8 e. 6, 18, 54, 162, ..., U7 9. Tentukan rasio dan suku keempat suatu barisan geometri jika diketahui a. a = 2 dan U5 = 162 b. a = 4 dan U3 = 64 7 dan U7 = 224 c. a = 2 1 81 dan U6 = d. a = 15 15 10 e. a = 90 dan U5 = 9 10. Diketahui suatu barisan geometri dengan suku keempat 10 10 dan suku keenam . Tentukan 81 9 a. suku pertama dan rasio pada barisan geometri tersebut, b. suku kesepuluh barisan geometri tersebut. C. Deret Bilangan Pada materi sebelumnya, kamu telah mempelajari barisan bilangan, baik itu barisan aritmetika maupun barisan geometri. Sekarang, bagaimana jika suku-suku dalam barisan bilangan tersebut dijumlahkan? Dapatkah kamu menghitungnya? Misalnya, diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 2, 5, 8, 11, 14, 17, ..., Un Barisan bilangan tersebut jika dijumlahkan akan menjadi 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + ... + Un Bentuk seperti ini disebut deret bilangan . Jadi, deret bilangan adalah jumlah suku-suku suatu barisan bilangan. Sebagaimana halnya barisan bilangan, deret bilangan pun dibagi menjadi dua bagian, yaitu deret aritmetika dan deret geometri. 1. Deret Aritmetika Deret Hitung Coba kamu perhatikan barisan aritmetika berikut. 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... , Un Jika kamu jumlahkan barisan tersebut, terbentuklah deret aritmetika sebagai berikut. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + ... + Un Jadi, deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmetika. 114 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX Contoh Soal Suatu barisan arisan aritmetika ari ar memiliki suku pertama 5 dan beda 3. Tuliskan deret aritmetika dari barisan tersebut. Jawab • Barisan aritmetikanya adalah 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ..., Un • Deret aritmetikanya adalah 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + ... + Un Sekarang, bagaimana cara menjumlahkan deret aritmetika tersebut? Untuk deret aritmetika yang memiliki suku-suku deret yang sedikit mungkin masih mudah untuk menghitungnya. Sebaliknya, jika suku-suku deret tersebut sangat banyak, tentu kamu akan memerlukan waktu yang cukup lama untuk menghitungnya. Berikut ini akan diuraikan cara menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika. Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika maka Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + ... +Un = a + a + b + a + 2b + a + 3b + a + 4b + ... + Un Kemudian, • Sn = a + a + b + a + 2b + a + 3b + a + 4 b + ...+ U n Sn = U n + U n − b + U n − 2b + U n − 3b + U n − 4 b + ...+ a 2 Sn = a + U + a + U + a + U + a + U + ...+ a + U + Sebany yak n kali • 2 Sn = n a + Un • Sn = n 1 na + Un = a + U n 2 2 Jadi, rumus untuk menghitung jumlah suku-suku deret aritmetika adalah sebagai berikut. Sn = n a + Un 2 Oleh karena Un = a + n – 1 b, rumus tersebut juga dapat ditulis sebagai berikut. Sn = n 2a + n – 1 b 2 Agar kamu lebih memahami deret aritmetika, perhatikan contoh-contoh soal berikut. Contoh Soal Diketahuii deret d t aritmetika 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... + U10. Tentukan a. suku kesepuluh U10 deret tersebut, b. jumlah sepuluh suku pertama S10. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret 115 Solusi Matematika Setiap hari, Anisa menyimpan uang sebesar di kotak uang. Uang di kotak itu pada hari ini ada Berapa rupiah uang di kotak tersebut 2 minggu yang akan datang? a. b. c. d. Jawab Setiap hari Anisa menabung sebesar Oleh karena hari ini uang Anisa hari ke-1 menjadi hari ke-2 menjadi dan seterusnya mengikuti deret aritmetika. .... a = b = U14 = a + n –1b = + 14 – 1 = + 13 × = Jadi, uang Anisa setelah dua minggu adalah Jawaban c Soal UN, 2005 Jawab Diketahui a = 3 dan b = 4 a. Un = a + n – 1 b maka U10 = 3 + 10 – 1 4 =3+9·4 = 3 + 36 = 39 Jadi, suku kesepuluh deret tersebut adalah 39. 10 n b. Sn = a + Un maka S10 = 3 + U10 2 2 = 10 3 + 39 2 = 210 Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah 210 Contoh Soal Diketahui ui suatu dderet aritmetika dengan suku pertama 10 dan suku keenam 20. a. Tentukan beda deret aritmetika tersebut. b. Tuliskan deret aritmetika tersebut. c. Tentukan jumlah enam suku pertama deret aritmetika tersebut. Jawab Diketahui U1 = a = 10 U6 = 20 a. Un = a + n – 1 b maka U6 = 10 + 6 – 1b 20 = 10 + 5b 20 – 10 = 5b 10 = 5b b =2 Jadi, bedanya adalah 2. b. Deret aritmetika tersebut adalah 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + ... 1 6 c. Sn = a + Un maka S6 = 10 + U6 2 2 6 10 + 20 = 90 2 Jadi, jumlah enam suku pertama deret tersebut adalah 90 = Contoh Soal Sebuah perusahaan permen memproduksi permen pada tahun pertama. Oleh karena permintaan konsumen setiap tahunnya, perusahaan tersebut memutuskan untuk meningkatkan produksi permen sebanyak 5% dari produksi awal setiap tahunnya. a. Nyatakan jumlah permen yang diproduksi perusahaan tersebut pada 5 tahun pertama dalam barisan bilangan. b. Tentukan jumlah permen yang diproduksi pada tahun ke-7 U7. c. Tentukan jumlah permen yang telah diproduksi sampai tahun ke-7 S7. Jawab Diketahui a = 5 b= x = 100 100 116 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX a. Barisan bilangannya adalah sebagai berikut. b. Un = a + n – 1 b maka U7 = + 7 – 1 100 = + 6 · 100 = + 600 = Jadi, jumlah permen yang diproduksi pada tahun ke-7 adalah permen. 7 n c. Sn = a + U n maka S7 = + 2 2 = 3,5 × = Jadi, jumlah permen yang telah diproduksi sampai tahun ke-7 adalah permen Sekarang, kamu akan mempelajari sifat-sifat deret arimetika. Suatu deret aritmetika memiliki sifat-sifat sebagai berikut. 1 Jika diketahui deret aritmetika U1 + U2 + U3 + ... + Un maka U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = ... = Un – Un – 1 2 Jika U1, U2, dan U3 merupakan suku-suku deret aritmetika maka 2U2 = U1 + U3 3 Jika Um dan Un adalah suku-suku deret aritmetika maka Um = Un + m – nb Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh soal berikut. Contoh Soal Tentukan k nilai il x jika suku-suku barisan x – 1, 2x – 8, 5 – x merupakan suku-suku deret geometri. 2. Dari suatu deret aritmetika diketahui bahwa suku keempatnya adalah 38 dan suku kesepuluhnya adalah 92. Tentukan a. beda deret aritmatika tersebut, b. suku ketujuh deret aritmetika tersebut. Jawab 1. Diketahui U1 = x – 1 U2 = 2x – 8 U3 = 5 – x 2U2 = U1 + U3 maka 2 2x – 8 = x – 1 + 5 – x 4x – 16 = x – 1 + 5 – x 4x – 16 = 4 4x = 20 x =5 Jadi, nilai x sama dengan 5. 2. Diketahui U4 = 38 dan U10 = 92 a. Untuk mencari beda U − Un Um = Un + m – nb maka b = m m− n U − U 4 92 − 38 54 = 10 = = = 9 10 − 4 6 6 1. Jadi, beda deret aritmetika tersebut adalah 9. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret 117 b. Um = Un + m – nb maka U7 = U4 + 7 – 4b = 38 + 3 9 = 38 + 27 = 65 Jadi, suku ketujuh deret aritmetika tersebut adalah 65 2. Deret Geometri Deret Ukur Sama seperti deret aritmetika, deret geometri pun merupakan jumlah sukusuku dari suatu barisan geometri. Coba kamu perhatikan barisan geometri berikut ini. 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, ..., Un Jika kamu menjumlahkan suku-suku barisan geometri tersebut, diperoleh 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + ... +Un Bentuk seperti ini disebut sebagai deret geometri. Contoh Soal Diketahui suatu barisan geometri memiliki suku pertama 5 dan rasio 2. Tuliskan barisan dan deret geometrinya. Jawab Barisan geometrinya adalah 5, 10, 20, 40, 80, 160, ..., Un Deret geometrinya adalah 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + .... + Un Selanjutnya, kamu akan mempelajari cara menentukan jumlah n suku pertama dari deret geometri. Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama deret geometri maka Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + ... +Un = a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ... +arn – 1 Kemudian, 2 3 4 n− 1 • Sn = a + ar + ar + ar + ar + ... + ar rSn = ar+ ar 2 + ar 3 + ar 4 + ar 5 + ...+ ar n Sn − rSn = a − ar n • Sn − rSn = a 1 − r n Sn 1 − r = a 1− r n Sn = a 1 − r n 1 − r Jadi, rumus jumlah suku-suku deret geometri dapat dinyatakan sebagai berikut. Sn = a 1 − r n 1− r atau S n = a r n − 1 r− 1 Agar kamu lebih memahami deret geometri, coba kamu pelajari contohcontoh soal berikut. 118 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX Contoh Soal Diketahui barisan geometri 3, 6, 12, 24, 48, ..., Un. Tentukan suku ketujuh U7 dan jumlah tujuh suku pertamanya S7. Jawab • Menentukan suku ketujuh. Un = arn – 1 maka U7 = ar 6 = 326 = 3 · 64 = 192 Jadi, suku ketujuhnya adalah 192. • Menentukan jumlah tujuh suku pertamanya. a 1 − r n 31 − 2 7 maka S7 = Sn = 1− r 1− 2 31 − 128 = −1 3− 127 = −1 = 381 Jadi, jumlah tujuh suku pertamanya adalah 381 Contoh Soal Suatu deret geometri memiliki suku ketujuh 64 dan suku kesepuluh 512. Tentukan rasio r, suku kelima U5, dan jumlah delapan suku pertamanya S8. Jawab Diketahui U7 = 64 dan U10 = 512. • Un = arn – 1 maka U7 = ar6 64 = ar6 64 a= 6 ... 1 r U10 = ar9 maka 512 = ar9 ... 2 Subtitusikan persamaan 1 ke persamaan 2, diperoleh ar9 = 512 maka 64 r 9 = 512 r6 64 r3 = 512 512 r3 = 64 • r3 = 8 r =2 Jadi, rasio deret geometri tersebut adalah 2. 64 Dari persamaan 1 diperoleh a = 6 r 64 = 6 2 = 64 =1 64 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret 119 Diperoleh a = 1, sehingga Un = arn–1 maka U5 = 125–1 = 124 = 1 · 16 = 16 Jadi, suku kelimanya adalah 16. • Sn = a 1 − r n 1− r maka S8 = = 11 − 2 8 1− 2 11 − 256 −1 − 255 = −1 = 255 Jadi, jumlah delapan suku pertamanya adalah 255 Contoh Soal Di suatu desa desa, jum jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2007 adalah jiwa. Jika tingkat pertumbuhan penduduk di desa tersebut 5% per tahun, tentukan jumlah penduduk di desa tersebut pada tanggal 1 Januari 2011. Jawab Misalkan, jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2007 U1 adalah dan tingkat pertumbuhan penduduk r adalah 5 % = 0,05. • Jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2008 adalah U2 = + × 0,05 = jiwa • Jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2009 adalah U3 = + × 0,05 = jiwa dan seterusnya hingga diperoleh barisan sebagai berikut ... sehingga a = r = = 1, 05 Jadi, jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2011 adalah U5 = ar5 – 1 = 1,054 = = jiwa. Untuk mempermudah perhitungan deret geometri, kamu dapat menggunakan sifat-sifat dasar deret geometri, sebagai berikut 1 Jika diketahui deret geometri U1 + U2 + U3 + ... +Un maka U2 U3 U4 Un = = = ...= U1 U 2 U 3 U n−1 2 Jika U1, U2, dan U3 merupakan suku-suku deret geometri maka U22 = U1 × U3 3 Jika Um dan Un merupakan suku dari deret geometri maka Um = Un · r m – n Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh-contoh soal berikut. 120 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX Contoh Soal Diketahui suatu barisan x + 2, 9, x + 26. Tentukanlah nilai x agar barisan tersebut dapat disusun menjadi sebuah deret geometri. Jawab Diketahui bahwa U1 = x + 2 U2 = 9 U3 = x + 26 Dengan menggunakan sifat dasar deret geometri maka U22 = U1 × U3 maka 92 = x + 2 x + 26 81 = x + 2 x + 26 2 81 = x + 28 x – 52 0 = x 2 + 28x – 29 0 = x – 1 x + 29 x = 1 atau x = –29 Jadi, nilai x = 1 atau x = –29 Contoh Soal Dari suatu geometri, diketahui suku keenamnya 32 dan suku kesembilannya 256. Tentukan a. rasio dari deret tersebut, b. suku ketiga U3 dari deret tersebut. Jawab Diketahui U6 = 32 dan U9 = 256 a. Um = Un· rm–n maka U9 = U6 · r9–6 U 9 = U6 · r 3 U r3 = 9 U6 = 256 =8 32 r =2 Jadi, rasio deret tersebut adalah 2. b. Um = Un· rm–n maka U6 = U3 · r6–3 U 6 = U3 · r 3 U U3 = 36 r 32 = = 2 3 32 8 =4 Jadi, suku ketiga deret tersebut adalah 4 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret 121 Uji Kompetensi Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Tuliskan deret aritmetika dari barisan aritmetika berikut ini. a. 80, 120, 160, 200, ..., Un b. 13, 18, 23, 28, ..., Un c. –16, –9, –2, 5, ..., Un d. 10, 12, 14, 16,..., Un e. 17, 24, 31, 38, ..., Un 2. Tentukan jumlah setiap deret aritmetika berikut. a. 1 + 5 + 9 + 13 + ... + U10 b. 8 + 11 + 14 + 17 + ... + U15 c. 2 + 9 + +16 + 23 + ... + U7 d. 3 + 8 + 13 + 18 + ... + U20 e. 14 + 18 + 22 + 26 + ... + Un 3. Suatu deret aritmetika memiliki suku pertama 3 dan suku kedelapan 24. a. Tentukan beda deret tersebut. b. Tuliskan deret aritmetika tersebut. c. Tentukan jumlah sepuluh suku pertama dari deret tersebut. 4. Jika diketahui dalam suatu deret aritmetika dengan suku kelima 13 dan suku kesembilan 21, tentukan a. beda dari deret tersebut, b. suku kesepuluh deret tersebut, c. jumlah sebelas suku pertama dari deret tersebut. 5. Tentukan nilai x jika suku-suku barisan x – 4, 2x + 1, 10 + x, merupakan suku-suku yang membentuk dari aritmetika. 6. Suatu barisan geometri memiliki suku pertama 3 dan rasio 4. a. Tuliskan barisan geometri tersebut. b. Tuliskan deret geometri tersebut. 7. Tentukan jumlah setiap deret geometri berikut. a. 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + ... + U7 b. 3 + 15 + 75 + ... + U6 c. 1 + 4 + 16 + 64 + ... + U7 d. 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + ... + U8 1 1 e. + + 1 + 2 +... + U10 4 2 8. Diketahui suatu deret geometri memiliki suku ketiga 18 dan suku kelima 162. Tentukan a. rasio deret geometri tersebut, b. suku kedelapan deret geometri tersebut, c. jumlah delapan suku pertama deret geometri tersebut. 9. Diketahui suatu barisan 1 + x, 10, x +16. Tentukan nilai x agar suku barisan tersebut menjadi deret geometri. 10. Tentukan n jika a. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... + n = 510 b. 3 + 9 + 27 + ... + n = 120 c. 1 + 2 + 4 + 8 + ... + n = d. 3 + 6 + 12 + ... + n = 765 e. 2 + 6 + 18 + ... + n = 242 Rangkuman • • Pola bilangan terdiri atas - pola garis lurus - pola persegipanjang - pola persegi - pola segitiga - pola bilangan ganjil dan genap - pola segitiga Pascal Barisan bilangan terdiri atas barisan aritmetika dan barisan geometri. 122 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX • Rumus suku ke - n sebagai berikut. barisan aritmetika Un = a + n – 1b • Rumus suku ke - n barisan sebagai berikut. geometri Un = arn – 1 • Deret bilangan terdiri atas deret aritmetika dan deret geometri. • Jumlah suku ke-n deret aritmetika dinyatakan oleh rumus Sn = • • • • Jumlah suku ke-n deret geometri dinyatakan oleh rumus n a + U n 2 Sn = a1 − r n dengan r π 1 1− r Pada bab Pola Bilangan, Barisan, dan Deret ini, menurutmu bagian mana yang paling menarik untuk dipelajari? Mengapa? Setelah mempelajari bab ini, apakah kamu merasa kesulitan memahami materi tertentu? Materi apakah itu? Kesan apakah yang kamu dapatkan setelah mempelajari materi pada bab ini? Peta Konsep Pola Bilangan, Barisan, dan Deret mempelajari tentang Pola Bilangan • Pola garis lurus Pola persegipanjang Pola persegi Pola segitiga Pola bilangan ganjil dan genap pola segitiga Pascal Deret terdiri atas terdiri atas terdiri atas • • • • • jika dijumlahkan menjadi Barisan Aritmetika rumus Suku ke-n Un = a + n – 1b Geometri rumus Suku ke-n Un = a rn – 1 Aritmetika Geometri rumus Jumlah suku ke-n n Sn = a + Un 2 rumus Jumlah suku ke-n a1− r n Sn = ,r π1 1− r Pola Bilangan, Barisan, dan Deret 123 Uji Kompetensi Bab 6 A. Pilihlah satu jawaban yang benar. 1. Perhatikan pola berikut. 1 2 3 4 Pola kelima dari gambar tersebut adalah .... a. c. b. 2. Pola noktah-noktah berikut yang menunjukkan pola bilangan persegipanjang adalah ... a. c. b. 3. 4. 5. d. d. Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Banyaknya suku barisan dari barisan bilangan tersebut adalah .... a. 10 c. 8 b. 9 d. 7 Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 28, 34, 40, 46, 52, 58, 64, 70 Nilai U3, U6, dan U8 berturut-turut adalah .... a. 40, 46, 64 b. 40, 52, 70 c. 40, 58, 70 d. 40, 64, 70 Berikut ini adalah barisan aritmetika, kecuali .... a. 70, 82, 94, 106, 118 b. 36, 40, 44, 48, 52 c. –10, –4, 2, 8, 14 d. 1, 2, 4, 8, 16 124 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX 6. Diketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut. –8, –4, 0, 4, 8, 12, n, 20, 24 Nilai n yang memenuhi adalah .... a. 10 c. 16 b. 14 d. 18 7. Berikut ini yang merupakan barisan aritmetika turun adalah .... a. 30, 32, 34, 36, ... b. 12, 8, 4, ... c. 16, 21, 26, ... d. 50, 60, 70, ... 8. Diketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut. 36, 44, 52, 60, 68, .... Beda pada barisan tersebut adalah .... a. 6 c. 8 b. 7 d. 9 9. Diketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut. 42, 45, 48, 51, 54, .... Suku ke-12 barisan tersebut adalah .... a. 75 b. 55 c. 85 d. 65 10. Beda pada barisan aritmetika yang memiliki suku pertama 15 dan suku ketujuh 39 adalah .... a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 11. Suatu barisan aritmetika memiliki suku keempat 46 dan suku ketujuh 61. Suku kesepuluh barisan tersebut adalah .... a. 66 c. 76 b. 71 d. 81 12. Barisan aritmetika yang memenuhi rumus umum 3n – 1 adalah .... a. 1, 4, 7, 10, 13, ... b. 1, 5, 9, 13, 17, ... c. 2, 8, 14, 20, ... d. 2, 5, 8, 11, 14, ... 13. Perhatikan barisan bilangan berikut. 1, 3, 9, 27, 81, m, 729, ... Agar barisan tersebut menjadi barisan geometri maka nilai m yang memenuhi adalah .... a. 324 b. 234 c. 243 d. 342 14. Diketahui barisan bilangan geometri sebagai berikut. 15 15 60, 30, 15, , 2 4 Rasio pada barisan tersebut adalah .... a. 30 b. 15 c. 3 d. 2 15. Perhatikan barisan bilangan geometri sebagai berikut. 3, 6, 12, 24, ... Nilai suku kesepuluh dari barisan tersebut adalah .... a. b. c. d. 16. Dalam suatu barisan geometri, diketahui suku pertamanya adalah 128 dan suku kelimanya adalah 8. Rasio dari barisan tersebut adalah .... a. 4 b. 2 6 c. 2 1 d. 4 17. Diketahui deret bilangan aritmetika sebagai berikut. 12 + 15 + 18 + ... Jumlah delapan suku pertama deret tersebut adalah .... a. 160 b. 180 c. 360 d. 450 18. Suatu deret aritmetika memiliki suku ketiga 9 dan suku keenam adalah 243. Jumlah lima suku pertama deret aritmetika tersebut adalah .... a. 242 b. 121 c. 81 d. 72 19. Dalam sebuah deret geometri, diketahui nilai S10 = Jika rasio pada deret tersebut adalah 2, suku pertama deret tersebut adalah .... a. 1 c. 3 b. 2 d. 4 20. Diketahui suatu barisan sebagai berikut. x + 3, 16, 27 + x Nilai x yang memenuhi agar suku barisan tersebut menjadi deret geometri adalah .... a. 4 c. 6 b. 5 d. 7 B. Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan-barisan bilangan berikut. a. 4, 5, 9, 14, 23, ... b. 90, 78, 66, 54, ... c. 2, 6, 18, 54, 162, ... 2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan-barisan bilangan berikut. a. 3, 4, 6, 9, ... b. 1, 2, 4, 8, ... c. 10, 8, 6, 4, ... 3. Tuliskan lima suku pertama barisan aritmetika yang memenuhi rumus umum sebagai berikut. a. nn + 1 b. 2n + 5 c. n2 n + 1 4. Tentukan nilai suku keseratus barisan bilangan segitiga. 5. Diketahui barisan geometri 2, 4, 8, 16, 32, .... Tentukan a. rasionya, b. rumus suku ke-n, c. jumlah sepuluh suku pertamanya. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret 125
Artinya garis g melalui titik asal, yaitu (0, 0) dan tegak lurus dengan suatu garis yang memiliki gradien -3. Ingat bahwa pada dua garis yang saling tegak lurus, berlaku dan (a, 1) berada pada garis g. Selanjutnya, nilai a dan b dapat ditentukan sebagai berikut. Pada soal, yang ditanyakan Perhatikan pola bilangan berikut ini! Nilai x
64% found this document useful 11 votes43K views27 pagesDescriptionPola Bilangan, Barisan, dan DeretOriginal TitlePola Bilangan, Barisan, dan DeretCopyright© © All Rights ReservedAvailable FormatsPDF, TXT or read online from ScribdShare this documentDid you find this document useful?64% found this document useful 11 votes43K views27 pagesPola Bilangan, Barisan, Dan DeretOriginal TitlePola Bilangan, Barisan, dan DeretJump to Page You are on page 1of 27 You're Reading a Free Preview Pages 7 to 15 are not shown in this preview. You're Reading a Free Preview Pages 20 to 25 are not shown in this preview. Reward Your CuriosityEverything you want to Anywhere. Any Commitment. Cancel anytime.
Padapengetosan satu mata uang logam dan satu dadu, tentukan : a) Ruang sample. b) Cacah ruang sample. c) Peluang muncul GAMBAR dan mata dadu primal. 4. Diketahui data seperti diagram di bawah ini : Tentukan : a) Banyak siswa yang mendapat nilai 8. b) Modus. c) Rata - rata nilai ulangan. 5. Peluang diterima seorang siswa di Sekolah Menengah Contents1 Pola Bilangan Jenis Dan Contoh Soalnya Jenis-jenis Pola Pola Bilangan Garis Pola Bilangan Persegi Pola Bilangan Pola Bilangan Pola Bilangan Ganjil dan Pola Segitiga Contoh Soal dan Share thisRumus Pola Bilangan – Pola bilangan dalam matematika adalah susunan dari beberapa angka yang dapat membentuk pola tertentu. Seperti pada dadu, yang dimana setiap bagiannya memiliki titik bulat yang disebut dengan noktah/titik di setiap noktah itu sudah dipakai sejak zaman dahulu. Uniknya, noktah itu juga didasarkan pada bentuk bangun datar atau bangun ruang. Semua bilangan aslinya digambarkan dengan penggunaan noktah yang mengikuti pola garis yang Pola BilanganBerikut penjelasan masing-masing pola bilangan dan rumusnya Pola Bilangan Garis LurusPenulisan bilangannya mengikuti pola garis yang lurus yang merupakan pola bilangan yang paling sederhana, dibandingkan dengan pola bilangan yang lainnya. Sebuah bilangan hanya digambarkan dengan noktah yang mengikuti pola garis yang ●● mewakili bilangan dua.●●● mewakili bilangan tiga.●●●● mewakili bilangan empat.●●●●● mewakili bilangan Pola Bilangan Garis LurusGambarkan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk noktah dengan pola garis!7910Jawab●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●Pola Bilangan Persegi PanjangSecara umum penulisan pada bilangan yang dilandasi dengan pola persegi panjang, hanya digunakan di dalam bilangan yang bukan merupakan bilangan prima. Dalam pola ini, noktah yang disusun akan menyerupai bentuk persegi panjang. Contohnya a. ●●●●● ●●●●●noktah di atas mewakili bilangan 10, yakni 2 x 5 = 10b. ●●● ●●●noktah di atas mewakili bilangan 6, yakni 2 x 3 = 6c. ●● ●● ●●noktah di atas mewakili bilangan 6, yakni 3 x 2 = 6Contoh Pola Bilangan Persegi panjangDari bilangan-bilangan berikut, manakah yang bisa mengikuti pola persegipanjang? Jelaskan dengan menggunakan gambar!151617JawabBilangan 15 adalah hasil dari perkalian antara 3 dan 5, sehingga,●●●● ●●●●● ●●●●●pola di atas mengikuti pola persegi 16 adalah hasil dari perkalian antara 2 dan 8, sehingga,●●●●●●● ●●●●●●●●noktah di atas mengikuti pola persegi 17 adalah hasil dari perkalian 1 dan 17, sehingga,●●●●●●●●●●●●●●●●noktah di atas mengikuti pola garis Bilangan PersegiPersegi adalah bangun datar yang dimana semua sisinya mempunyai ukuran yang panjangnya sama. Begitupun dengan pola bilangan yang mengikuti pola persegi. Semua noktah akan digambarkan dengan jumlah yang sama. Lihat penjelasannya a● mewakili bilangan 1, yakni 1 x 1 = 1b.● ●● mewakili bilangan empat, yakni 2 x 2 = 4c.● ● ● ● ● ● ● ● mewakili bilangan semibilan, yakni 3 x 3 = 9d.●●● ●●●● ●●●● ●●●● mewakili bilangan enam belas, yakni 4 x 4 = 16Apabila kita lanjutkan, maka bilangan-bilangan yang digambarkan untuk mengikuti pola persegi diantaranya yaitu 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …Bilangan itu adalah bilangan kuadrat atau pangkat Bilangan SegitigaSelain pola persegi panjang dan persegi, bilangan dapat digambarkan dengan noktah yang mengikuti pola segitiga. Seperti pada bilangan yang mengikuti pola segitiga di bawah ini a. ● mewakili bilangan 1b. ● ●● mewakili bilangan 3c. ●● ●●● mewakili bilangan 6d. ●● ●●● ●●●● mewakili bilangan 10Sehingga, bilangan yang mengikuti pola segitiga bisa kita tuliskan seperti berikut ini1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, …Pada bilangan segitiga dibentuk dengan mengikuti pola seperti atau1 = 13 = 1+26 = 1+2+310 = 1 + 2 + 3 + 415 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 dan begitu Bilangan Ganjil dan GenapPada umumnya, bilangan yang memiliki pola ganjil dan genap memiliki selisih dua angka diantara bilangan yang satu dengan bilangan yang lainnya. Seperti pada uraian berikut ini Pola Bilangan GanjilPola bilangan ganjil mempunyai dua aturan seperti beriktu iniBilangan 1 sebagai bilangan selanjutnya mempunyai silisih 2 dengan bilangan Bilangan GenapPola bilangan genap mempunyai dua aturan seperti berikut iniBilangan 2 sebagai bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan Segitiga PascalBilangan yang disusun dengan menggunakan pola segitiga paskal memiliki pola yang unik dibanding pola yang sebelumnya. Karena pada bilangan dengan pola segitiga paskal selalu diawali dan diakhiri dengan angka 1. Pada susunannya juga selalu terdapat angka yang diulang. Berikut ini aturan dalam membuat pola segitiga paskal. Yaitu Angka 1 adalah angka awal yang ada di dua bilangan di bawahnya. Oleh sebab itu, angka awal dan akhir selalu angka 1, kedua bilangan tersebut yaitu jumlahkan bilangan yang berdampingan. Lalu, simpan hasilnya di bagian tengah bawah kedua bilangan ini dilakukan terus hingga batas susunan bilangan yang yang ada pada pola bilangan paskal sama dengan suku di barisan bilangan kelipatan dua. Suku berikutnya yang bisa dicari dengan mencari hasil kali dua dengan suku yang Soal dan PembahasanDengan memakai ciri-ciri penulisan bilangan yang mempunyai pola persegi, tentukan bilangan manakah yang mengikuti pola persegi?60196225Soal anak menyusun persegi dari batang lidi dengan mengikuti pola sebagai banyak lidi yang diperlukan guna membuat persegi pada pola ke-5?Jawab Yang termasuk pada pola bilalngan persegi yaitu;Bilangan 60 bukan merupakan bilangan kuadrat. Sehingga, bilangan 60 tidak bisa kita gambarkan dengan mengikuti pola 196 adalah bilangan kuadrat dari 14. Sehingga, bilangan 196 bisa kita gambarkan dengan mengikuti pola 225 adalah bilangan kuadrat dari 15. Sehingga, bilangan 225 bisa kita gambarkan dengan mengikuti pola pembahasan materi Rumus Pola Bilangan yang disertai dengan jenis dan contoh soalnya lengkap. Semoga artikel ini membantu anda dalam menyelesaikan soal pola bilangan, dan bermanfaat bagi anda Juga PolaBilangan, Garis Lurus, Persegi, Persegipanjang, Segitiga, Ganjil #Matematika

Terjemahanfrasa POLA GARIS LURUS dari bahasa indonesia ke bahasa inggris dan contoh penggunaan "POLA GARIS LURUS" dalam kalimat dengan terjemahannya: Perforasi Kotak: Pola garis lurus atau terhuyung-huyung.

ContohPola Bilangan Garis Lurus. Gambarkan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk noktah dengan pola garis! a. 7. b. 9. c. 10. Jawab: a. b. c. 2. Pola Bilangan Persegi Panjang. Pada umumnya, penulisan pada bilangan yang dilandasi dengan pola persegipanjang hanya dipakai dalam bilangan yang bukan bilangan prima.
BxKbD.
  • 7j50j32s0y.pages.dev/585
  • 7j50j32s0y.pages.dev/590
  • 7j50j32s0y.pages.dev/21
  • 7j50j32s0y.pages.dev/515
  • 7j50j32s0y.pages.dev/285
  • 7j50j32s0y.pages.dev/410
  • 7j50j32s0y.pages.dev/324
  • 7j50j32s0y.pages.dev/577

    • pola bilangan garis lurus pada dadu